피라미드 저울의 눈금 실험

문제:

저울 4개 위에 3개, 그 위에 2개, 그 위에 1개를 피라미드 모양으로 쌓아 두었다.

각 저울의 눈금은 어떻게 될까?

@elanlife 라는 분이 제시한 문제이다.

저울을 피라미드 모양으로 쌓아 놓았는데, 그 때 각 저울의 눈금이 어떻게 되겠냐는 것이다.

과천에 있는 미술관에 피라미드 저울 작품이 있는데 거기에 인위적으로 설정해 놓은 저울의 눈금이 아무리 봐도 이상해 보인다는 것이다.

▲ 과천 미술관 옆에 있는 저울탑의 모양 (사진 @elanlife)

그리고 그 문제에 대한 수학적 답을 엔스(@ensual)가 자신의 블로그에 써 두었다.

엔스의 풀이과정 보러가기

답:

           0

       1/2 1/2
    3/4 3/2 3/4
7/8 17/8 17/8 7/8

각 저울의 무게에 저 숫자를 곱한만큼이 저울 눈금에 나타날 것이라는 뜻이다.

내가 보기에 이 문제는 수학문제라기 보다는 물리문제에 가깝다 하겠다.

그래서 나는 실험을 했다.

준비물:

저울 6개

사진기

1. 먼저 저울 하나의 무게를 측정한다.

저울 하나의 무게: 496.5 g

2. 저울 6개를 피라미드 모양으로 쌓고 각각 저울의 눈금을 읽는다.

각 저울의 눈금

실험값:

            -0.2g

     238.8g  248.9g

316.6g    ----     354.4g

맨 마지막의 가운데 저울은 측정 범위를 벗어나서 오류가 났다. 저울의 측정범위가 500g까지이기 때문에 그것보다 무겁게 나왔다고 볼 수 있다.

엔스의 계산에 따른 이론값을 구해보자.

이론값:

               0g

     248.3g   248.3g

372.4g  744.8g  372.4g

오차를 구해보자.

오차는 (실험값 - 이론값) / 이론값 * 100 으로 구했다.

오차

              ----

     -3.83%  0.242%

-15.0%    ----   -4.83%

아랫쪽으로 갈 수록 오차가 크게 나왔으며, 오른쪽보다는 왼쪽이 오차의 절대값이 크게 나왔음을 알 수 있다. 이는 아랫쪽으로 갈 수록 위에서부터 차례로 오차가 누적되기 때문이며, 왼쪽의 오차가 큰 이유는, 실험자인 내가 왼쪽의 저울을 대충 놓았나보다. ㅡㅡ;; 아니면 실험 책상이 약간 기울어져 있었거나. 사진을 자세히 보면 수평을 맞추도록 되어있는 공기방울이 있는데, 그 공기방울이 저울눈금이 없는 쪽으로 치우쳐져 있음을 알 수 있다. (대충 놓았다는 뜻이다.) 맨 아랫줄의 오차를 좀 더 눈여겨보면, 모두 이론값보다 무게가 작게 측정되었음을 알 수 있다. 이는 맨 아랫줄의 가운데 저울의 값을 측정해 보면 정확히 알 수 있겠지만, 아마도 가운데 쪽으로 무게가 쏠리면서 양 옆의 무게가 작게 측정된 것이 아닐까 추측한다. 가운데 저울은 이론값보다 크게 나왔을 것이다.

실험을 통해 적어도 모든 저울에 무게가 균등하게 나누어 지는 것은 아님을 알 수 있다.

15%의 오차가 나온 저울도 있지만, 저울의 무게를 정확하게 배분하기 위한 세밀한 장치를 하지 않은 실험이기 때문에, 이 정도라면 엔스의 계산이 맞다고 할 수 있다. 즉, 엔스가 했던 가정인

각각의 저울은 그 밑에 있는 저울 양쪽에 반반씩 하중을 전달함

이 타당함을 뜻한다. 또한 그 가정에 따라 계산한 결과인

식이 타당함을 뜻한다.

끝.